Der Kreis
Schneide ihn in Stücke und leg sie in eine lange Reihe.
- Radius
- 20 cm
- Umfang
- 125,7 cm
- Fläche
- 1256,6 cm²
- Die Breite der Reihe
- 62,1 cm
- Die Höhe der Reihe
- 20 cm
Regnestykket
Halbe Kante × Radius
62,8 cm × 20 cm = 1256,6 cm²
Kurz: π · r · r
Du hast nur die Stücke verschoben
Es wurde nichts abgeschnitten und nichts hinzugefügt. Dieselben Stücke liegen noch da, nur anders. Deshalb nimmt die Reihe genau so viel Platz ein wie der Kreis. Das ist der ganze Trick hinter der Figur: Eine Form, deren Fläche du nicht kennst, wird zu einer Form umgelegt, die du kennst. Der Kreis ist schwer. Ein Rechteck ist leicht, denn da multipliziert man einfach die beiden Seiten.
Die Höhe ist der Radius
Jedes Stück geht von der Mitte bis zum Rand. Dieser Abstand heißt Radius. Wenn das Stück in der Reihe liegt, steht dieselbe Kante jetzt hochkant, und das ist die Höhe der Reihe. Die kupferfarbene Linie liegt genau auf dieser Kante, vorher wie nachher, damit du siehst, dass es dieselbe ist. Der Kreis liegt oben, und die Reihe baut sich darunter auf, sodass du die Stücke den ganzen Weg nach unten verfolgen kannst. Achte darauf, dass die Linie zur Seite kippt, wenn du nur wenige Stücke hast. Je mehr Stücke, desto senkrechter steht sie.
Die Breite ist die halbe Kante, ausgerollt
Die gestrichelte Kupferlinie ist die obere Hälfte des Kreisrands. Wenn du aufklappst, wird sie zu einer geraden Linie unter der Reihe ausgerollt. Unterwegs wird sie ein wenig kürzer, und das ist kein Fehler der Zeichnung: Ein Bogen ist immer länger als die gerade Linie zwischen seinen beiden Enden. Bei vier Stücken ist der Unterschied deutlich. Bei vierundzwanzig sieht man ihn kaum. Bei vierundsechzig ist er fast weg.
Sieh, was bei vier Stücken passiert
Mit vier Stücken sieht die Reihe nicht wie ein Rechteck aus. Die Seiten neigen sich um fünfundvierzig Grad, und die runden Kanten wölben sich oben und unten nach außen. Multipliziere die beiden Zahlen unter der Figur, Breite und Höhe, und du bekommst eine Zahl, die kleiner ist als die Fläche. Dann erhöhe die Anzahl der Stücke. Die Seiten richten sich auf, die Wölbungen werden kleiner, und die beiden Zahlen kriechen immer näher zusammen. Bei vierundsechzig Stücken treffen sie fast genau.
Aber ganz gerade wird es nie
Egal, wie viele Stücke du schneidest, jedes Stück hat immer noch eine winzige runde Kante. Die Reihe wird ein immer besseres Rechteck, aber nie ein ganz genaues. Das ist die Art von Antwort, die Mathematik oft gibt. Nicht «jetzt stimmt es», sondern «du kannst so nah herankommen, wie du willst». Die Zahl, der du dich näherst, ist der halbe Umfang mal der Radius. Das ist dasselbe wie Pi mal Radius mal Radius.
Dieselbe Figur ohne runde Kanten
Probier das Vieleck nebenan. Es wird genau gleich zerschnitten, in Dreiecke von der Mitte aus, und die Dreiecke werden genau gleich in eine Reihe gelegt. Der einzige Unterschied ist, dass seine Stücke eine gerade Kante statt einer runden haben. Deshalb passen sie sofort zusammen, und es gibt keine Wölbungen, auf die man warten muss. Man kann einen Kreis als Vieleck mit unendlich vielen Seiten sehen, bei dem jede Seite unendlich kurz ist. Die beiden Abwicklungen sind derselbe Beweis, zweimal gesagt.