Das Rechteck
Schneide sie in Felder und leg sie in eine Reihe. Jetzt kannst du sie zählen.
- Länge
- 6 cm
- Breite
- 4 cm
- Einmal rundherum
- 20 cm
- Regnestykket
- 6 × 4
- Anzahl Felder
- 24
- Fläche
- 24 cm²
Regnestykket
Länge × Breite
6 cm × 4 cm = 24 cm²
Kurz: l · b
Die Reihe ist dasselbe wie das Rechteck
Es ist kein einziges Feld dazugekommen und keines verschwunden. Die Felder wurden nur auf eine Linie verschoben. Deshalb ist in der langen Reihe genauso viel Platz wie im Rechteck, mit dem du angefangen hast — es ist dieselbe Figur, zerschnitten und anders gelegt. Und eine Reihe ist leicht zu zählen. Das ist die ganze Idee: Ein Rechteck ist schwer auf einmal zu überblicken, aber eine Reihe kann man von einem Ende zum anderen durchgehen.
Ein Feld ist ein Quadratzentimeter
Jedes der kleinen Felder ist einen Zentimeter lang und einen Zentimeter breit. So ein Feld heißt Quadratzentimeter, und man schreibt cm². Das ist es, was man zählt, wenn man sagt, wie groß etwas ist. Deshalb steht dieselbe Zahl bei der Anzahl der Felder und bei der Fläche: Hast du die Felder gezählt, hast du die Fläche gefunden. Nicht weil jemand bestimmt hat, dass es passen soll, sondern weil die Fläche die Anzahl der Felder IST.
Die zwei Kupferlinien messen mit
Die eine Kupferlinie liegt entlang der Länge, die andere steht entlang der Breite. Zieh am Schieberegler, um aufzuklappen, und beobachte sie dabei: Die Längenlinie landet unter der ersten Gruppe in der Reihe, und sie ist genau so lang wie vorher. Die Breitenlinie legt sich über die ganze Reihe. Wo sie im Gitter die Reihen gezählt hat, spannt sie jetzt über genauso viele Gruppen. Die Linien messen also die ganze Zeit dasselbe — sie zeigen es nur an einer neuen Stelle.
Deshalb mal und nicht plus
Schau auf die Lücken in der Reihe. Sie teilen sie in gleich große Gruppen, und es gibt eine Gruppe für jede Reihe im Gitter. Alle Gruppen sind gleich lang, denn alle Reihen im Gitter waren gleich lang. Gleich große Gruppen zusammenzuzählen ist genau das, was mal bedeutet. Statt die Felder einzeln zu zählen, kannst du also die Länge nehmen und mit der Breite multiplizieren. Stell die Breite auf 1: Dann gibt es nur eine Gruppe, und die Reihe ist genau so lang, wie das Rechteck breit ist. Erhöhe die Breite Schritt für Schritt und sieh, wie jedes Mal eine Gruppe dazukommt.
Ein Quadrat ist keine andere Art von Figur
Stell Länge und Breite auf dieselbe Zahl. Jetzt ist die Figur ein Quadrat. Aber unterwegs ist nichts Besonderes passiert — es ist immer noch dasselbe Rechteck, und es wird immer noch genauso berechnet: Länge mal Breite. Ein Quadrat ist einfach das Rechteck, bei dem die beiden Maße zufällig gleich sind. Deshalb gibt es keine zusätzliche Formel für Quadrate zu lernen, und deshalb sind alle Quadrate Rechtecke, während die wenigsten Rechtecke Quadrate sind.
Einmal ganz herum ist etwas ganz anderes
Probier ein Rechteck von 1 mal 7 und dann eines von 4 mal 4. Beide sind einmal ganz herum 16 Zentimeter — es ist genau gleich weit, an ihrem Rand entlangzugehen. Aber das erste hat 7 Felder, und das zweite hat 16. Das ist mehr als doppelt so viel Platz bei demselben Rand. Die Länge des Randes sagt also nicht, wie viel drin ist. Das ist dieselbe Falle wie beim Dreieck, wo die Seiten länger werden, ohne dass sich die Fläche ändert, und es lohnt sich, das mindestens einmal mit eigenen Augen gesehen zu haben.
Wo du ihr wieder begegnest
Ein Boden, der Platten bekommen soll, eine Wand, die gestrichen werden soll, eine Platte, die zugeschnitten werden soll, ein Stück Dämmung auf einer Fläche. Jedes Mal ist die Frage dieselbe: Für wie viele Quadratzentimeter, Quadratmeter oder ganze Platten ist Platz? Und jedes Mal ist die Antwort dieselbe Rechnung wie hier — in die eine Richtung messen, in die andere Richtung messen, beides multiplizieren. Wird die Figur schief oder bekommt eine Ecke abgeschnitten, teilt man sie in Rechtecke und Dreiecke auf und zählt zusammen. Deshalb sind die ersten beiden Formen die, auf denen alles andere aufbaut.