Das Vieleck
Drei Seiten oder vierundzwanzig — es ist dieselbe Figur.
- Seiten
- 6
- Seitenlänge
- 20,0 cm
- Umfang
- 120,0 cm
- Inkreisradius
- 17,3 cm
- Fläche
- 1039,2 cm²
- Von der Kreisfläche
- 82,7 %
Regnestykket
Umfang × Inkreisradius ÷ 2
120,0 cm × 17,3 cm ÷ 2 = 1039,2 cm²
Kurz: o · a ÷ 2
Es ist eine Figur, nicht fünfzehn
Dreieck, Viereck, Fünfeck, Sechseck. Sie haben jeweils ihren eigenen Namen, aber sie sind genau gleich gebaut: alle Seiten gleich lang, alle Ecken gleich weit von der Mitte entfernt. Deshalb gibt es für alle nur einen Schieberegler. Zieh daran, und du siehst die Namen wechseln, ohne dass die Figur etwas Neues macht. Sie bekommt nur eine Ecke mehr. Alles, was du hier herausfindest, gilt deshalb für alle, und du musst es dir nur einmal merken.
Alle Stücke sind gleich
Schneide von der Mitte zu jeder Ecke, und du hast so viele Dreiecke, wie die Figur Seiten hat. Sie sind alle gleich. Jedes Dreieck hat die Seite der Figur als Grundseite, und seine Höhe ist der Abstand von der Mitte senkrecht hinaus zur Seite. Dieser Abstand heißt Inkreisradius, und er ist die kupferfarbene Linie. Achte darauf, dass er kürzer ist als der Abstand zu einer Ecke. Beim Dreieck ist er viel kürzer. Bei vierundzwanzig Seiten sind sie fast gleich lang.
Hier passt es genau
Als die Dreiecke in eine Reihe gelegt wurden, wurde jedes zweite umgedreht. Dann liegen die geraden Kanten paarweise bündig, und es gibt weder Lücken noch etwas, das auf etwas anderem liegt. Die Reihe ist so hoch wie der Inkreisradius und so lang wie der halbe Umfang. Multipliziere die beiden Zahlen, und du hast die Fläche. Das stimmt nicht ungefähr: Es passt genau, bei drei Seiten und bei vierundzwanzig und bei allem dazwischen. Deshalb darfst du diese hier von Hand ausrechnen.
Mehr Seiten, näher an einem Kreis
Unter der Figur steht, welchen Anteil des Kreises um es herum das Vieleck ausfüllt. Ein Dreieck füllt etwa einundvierzig Prozent. Ein Sechseck füllt etwa dreiundachtzig. Bei vierundzwanzig Seiten ist die Zahl fast neunundneunzig. Die Figur hat immer noch gerade Seiten und scharfe Ecken, aber jede Seite ist so kurz geworden, dass das Auge sie nicht mehr sehen kann. Es ist kein Kreis. Es sieht nur so aus.
Die Brücke zum Kreis
Der Kreis in der anderen Werkstatt wird genau gleich zerschnitten: Stücke von der Mitte aus, jedes zweite umgedreht, in eine Reihe gelegt. Der einzige Unterschied ist, dass die Stücke des Kreises eine runde Kante haben statt einer geraden, und deshalb wird die Reihe dort nie ganz ein Rechteck. Hier wird sie es sofort. Man kann einen Kreis als Vieleck mit unendlich vielen Seiten sehen, bei dem jede Seite unendlich kurz ist. Halber Umfang mal Inkreisradius wird dann zu halbem Umfang mal Radius, und das ist dasselbe wie Pi mal Radius mal Radius.
Es war zweimal derselbe Beweis
Achte darauf, was du nicht tun musstest. Du hast keine Formel für das Dreieck gelernt, eine andere für das Fünfeck und eine dritte für den Kreis. Du hast eine Figur zerschnitten, die Stücke zu etwas umgelegt, das du schon kanntest, und die Antwort abgelesen. Diese Vorgehensweise trägt weit über die beiden Figuren hier hinaus. Wenn du später einer Form begegnest, die du nicht kennst, ist die erste Frage dieselbe: Kann ich sie in Stücke schneiden, die ich schon messen kann?