Cirklen
Skær den op i stykker, og læg dem på én lang række.
- Radius
- 20 cm
- Omkreds
- 125,7 cm
- Areal
- 1256,6 cm²
- Rækkens bredde
- 62,1 cm
- Rækkens højde
- 20 cm
Regnestykket
Den halve kant × Radius
62,8 cm × 20 cm = 1256,6 cm²
Kort: π · r · r
Du har kun flyttet stykkerne
Der blev ikke skåret noget af, og der blev ikke lagt noget til. De samme stykker ligger der stadig, bare på en anden måde. Derfor fylder rækken nøjagtig lige så meget som cirklen gjorde. Det er hele tricket bag figuren: en form, du ikke kender arealet af, bliver lagt om til en form, du kender. Cirklen er svær. Et rektangel er let, for der ganger man bare de to sider med hinanden.
Højden er radius
Hvert stykke går fra midten og ud til kanten. Den afstand hedder radius. Når stykket ligger ned i rækken, står den samme kant nu på højkant, og det er rækkens højde. Den kobberfarvede streg ligger oven på netop den kant, både før og efter, så du kan se at det er den samme. Cirklen ligger øverst, og rækken bygger sig op nedenunder, så du kan følge stykkerne hele vejen ned. Læg mærke til at stregen hælder til siden, når du kun har få stykker. Jo flere stykker, jo mere lodret står den.
Bredden er den halve kant, rullet ud
Den stiplede kobberstreg er den øverste halvdel af cirklens kant. Når du folder ud, bliver den rullet ud til en lige streg under rækken. Den bliver en anelse kortere undervejs, og det er ikke en fejl i tegningen: en bue er altid længere end den lige linje mellem sine to ender. Ved fire stykker er forskellen tydelig. Ved fireogtyve kan du næsten ikke se den. Ved fireogtres er den nærmest væk.
Se hvad der sker ved fire stykker
Med fire stykker ligner rækken ikke et rektangel. Siderne hælder femogfyrre grader, og de runde kanter buler ud foroven og forneden. Gang de to tal under figuren, bredden og højden, og du får et tal der er mindre end arealet. Skru så op for antallet af stykker. Siderne rejser sig, bulerne bliver mindre, og de to tal kryber tættere og tættere på hinanden. Ved fireogtres stykker rammer de næsten præcist.
Men helt lige bliver det aldrig
Uanset hvor mange stykker du skærer, har hvert stykke stadig en lillebitte rund kant. Rækken bliver et bedre og bedre rektangel, men den bliver aldrig et helt præcist et. Det er den slags svar, matematik ofte giver. Ikke «nu er det rigtigt», men «du kan komme så tæt på, du vil». Tallet du nærmer dig, er den halve omkreds gange radius. Det er det samme som pi gange radius gange radius.
Den samme figur uden runde kanter
Prøv mangekanten ved siden af. Den bliver skåret op på nøjagtig samme måde, i trekanter fra midten, og trekanterne bliver lagt på række på nøjagtig samme måde. Forskellen er kun, at dens stykker har en lige kant i stedet for en rund. Derfor passer de sammen med det samme, og der er ingen buler at vente på. En cirkel kan man se som en mangekant med uendelig mange kanter, hvor hver kant er uendelig kort. De to udfoldninger er det samme bevis, sagt to gange.