Das Parallelogramm
Schieb die Spitze zur Seite. Darin ist genauso viel Platz.
- Grundseite
- 16 cm
- Höhe
- 9 cm
- Schräge Seite
- 10,3 cm
- Umfang
- 52,6 cm
- Fläche
- 144 cm²
Regnestykket
Grundseite × Höhe
16 cm × 9 cm = 144 cm²
Kurz: g · h
Das Dreieck hat nur den Platz gewechselt
Du hast an einem Ende eine Ecke abgeschnitten und am anderen eingesetzt. Es wurde nichts hinzugefügt und nichts weggenommen. Es ist dieselbe Figur — sie liegt nur anders. Und jetzt ist sie ein Rechteck. Ein Rechteck ist einfach: Man multipliziert die Grundseite mit der Höhe. Also muss das Parallelogramm genauso groß sein. Deshalb ist die Fläche Grundseite mal Höhe.
Die Neigung ändert nichts an der Fläche
Zieh an der Neigung und beobachte die Zahl für die Fläche. Sie steht still. Die Spitze gleitet zur Seite, die Figur wird immer schiefer, und mit der Fläche passiert nichts. Das ergibt Sinn: Die Grundseite ist die ganze Zeit gleich lang, und die Figur ist die ganze Zeit gleich hoch. Darin ist genauso viel Platz. Das Einzige, was sich ändert, ist, wo die Spitze steht — nicht, wie groß die Figur ist.
Die schräge Seite täuscht
Schau auf die beiden Zahlen «Höhe» und «Schräge Seite». Sobald du die Spitze nur ein kleines bisschen zur Seite schiebst, sind sie nicht mehr gleich. Die schräge Seite wird länger und länger, während die Höhe gleich bleibt. Multipliziert man die Grundseite mit der schrägen Seite statt mit der Höhe, bekommt man deshalb eine viel zu große Zahl — und es wird schlimmer, je schiefer die Figur ist. Genau vor diesem Fehler soll uns die Formel bewahren.
Die Höhe ist der kürzeste Weg von der Grundseite hinauf zur Spitze. Sie steht senkrecht auf der Grundseite, wie die gestrichelte Kupferlinie in der Figur. Die schräge Seite nimmt den langen Weg — sie muss sowohl nach oben als auch zur Seite. Deshalb ist sie immer mindestens so lang wie die Höhe und meistens länger.
Stell sie gerade hin
Stell die Neigung auf 0. Jetzt steht die Figur gerade, und die schräge Seite und die Höhe zeigen dieselbe Zahl. Das ist die einzige Stelle, an der sie übereinstimmen, und auch die einzige Stelle, an der Grundseite mal Seitenlänge zufällig die richtige Antwort gibt. Eine Rechnung, die nur an einem Punkt stimmt, ist keine Regel. Sie ist Glück.
Verschobene Stapel
Leg einen Stapel Karten auf den Tisch und schieb ihn mit der Hand schief. Der Stapel neigt sich jetzt, aber es sind immer noch gleich viele Karten darin, und er ist immer noch gleich hoch. Von der Seite gesehen ist er von einem Rechteck zu einem Parallelogramm geworden, ohne dass etwas dazugekommen oder weggefallen ist. Das ist dieselbe Beobachtung, die der Schieberegler zeigt, nur an etwas, das man anfassen kann.
Derselbe Kniff kommt wieder
Zerschneide die Figur, lege die Stücke zu etwas um, das du schon kennst, und lies die Formel ab. Das ist die ganze Vorgehensweise, und sie wurde nicht nur für diese Figur erfunden. Der Kreis wird auf dieselbe Weise zu einem Rechteck, nur mit viel mehr Stücken. Das Dreieck wird zu einem halben Rechteck. Das Trapez wird zu einem Parallelogramm. Wenn du es einmal gesehen hast, weißt du, worauf du beim nächsten Mal achten musst.