Die schräge Seite
Vier gleiche Dreiecke, umhergeschoben — und plötzlich kannst du die schräge Seite ausrechnen.
- Die Grundseite
- 6 cm
- Die Höhe
- 4 cm
- Die Grundseite mal sich selbst
- 36 cm²
- Die Höhe mal sich selbst
- 16 cm²
- Die beiden zusammengezählt
- 52 cm²
- Die schräge Seite
- 7,2 cm
Regnestykket
√(Grundseite × Grundseite + Höhe × Höhe)
√(6 cm × 6 cm + 4 cm × 4 cm) = 7,2 cm
Kurz: √(a² + b²)
Es ist nichts verschwunden
Das große Quadrat bleibt die ganze Zeit dasselbe — zieh am Schieberegler und beobachte den Rand, er bewegt sich nicht. Darin liegen vier Dreiecke, und es sind auch dieselben vier: Keines kommt hinzu, keines verschwindet, keines wird größer. Das Einzige, was passiert, ist, dass sie an andere Stellen geschoben werden. Deshalb muss der leere Rest vorher und nachher gleich groß sein. Das ist der ganze Beweis, und deshalb steht keine Rechnung in der Figur — man kann es sehen.
Zwei leere Quadrate werden zu einem
Bevor du aufklappst, bleiben zwei leere Quadrate übrig. Das eine hat die Grundseite als Seite, das andere die Höhe. Nachdem du aufgeklappt hast, bleibt eine leere Fläche übrig, und sie steht schräg — aber sie ist immer noch ein Quadrat mit vier gleich langen Seiten, und diese Seiten sind genau die schräge Seite. Die Zahlen in der Figur sagen dasselbe: Die beiden Zahlen, die du vorher lesen konntest, sind zu der einen zusammengezählt, die danach dasteht. Stell die Grundseite auf 6 und die Höhe auf 4: Da steht 36 und 16, und danach steht 52.
Warum die schräge Seite selten aufgeht
Grundseite und Höhe sind ganze Zentimeter, und die beiden Quadratzahlen sind daher auch ganze Zahlen. Aber die schräge Seite ist die Quadratwurzel der Summe, und die trifft fast nie eine ganze Zahl. Mit 6 und 4 wird sie 7,2 — nicht 7 und nicht 8. Das ist keine Ungenauigkeit der Zeichnung; so sind die Zahlen eben. Es gibt einzelne Paare, die aufgehen, und nach denen lohnt es sich zu suchen: Probier 3 und 4, und probier 6 und 8. Handwerker haben genau diese seit Tausenden von Jahren benutzt, um eine Ecke ganz rechtwinklig zu bekommen.
Stell die beiden Schieberegler gleich ein
Dann werden die beiden leeren Quadrate gleich groß, und die schräge Seite teilt das große Quadrat genau in der Mitte. Das ist die einzige Stellung, in der die Figur symmetrisch ist, und die schräge Seite wird die Grundseite mal die Quadratwurzel aus zwei — also etwa anderthalbmal so lang. Dieser Zahl begegnet man jedes Mal, wenn etwas auf der Diagonale geschnitten werden muss, und es lohnt sich zu bemerken, dass sie nicht davon abhängt, wie groß das Quadrat ist. Bewege beide Schieberegler gleichzeitig hoch und runter: Das Verhältnis zwischen den Seiten bleibt jedes Mal dasselbe.
Das Dach ist dasselbe Dreieck
Richte ein Dach über einem Haus auf. Die Grundseite ist die halbe Hausbreite, gemessen von der Außenwand bis zur Mitte. Die Höhe ist, wie hoch sich der First über die Decke erhebt. Und die schräge Seite ist das Stück Holz, das von der Mauerkrone hinauf zum First geht — der Sparren. Der Zimmermann kann die Breite messen und die Höhe festlegen, aber die Länge des Holzes kann er nicht am Haus messen, denn das Haus steht noch nicht. Er rechnet sie aus, mit genau der Rechnung, die hier steht.
Und dieselbe Regel taucht überall auf
Eine Leiter, die schräg an einer Wand lehnt. Eine Treppe, bei der die Stufen Grundseite und Höhe sind und das Geländer die schräge Seite. Ein Rohr, das schräg durch einen Raum geführt werden soll. Eine Kabelrinne, die um eine Ecke geknickt werden muss. Jedes Mal kennt man zwei Seiten, die senkrecht aufeinander stehen, und jedes Mal braucht man die dritte. Man muss sich keinen Namen für die Regel merken, um sie zu benutzen — man muss nur sehen, dass es wieder dieselbe Figur ist.