Das Trapez
Ein gleiches, umgedreht, passt genau daneben.
- Obere Seite
- 6 cm
- Untere Seite
- 10 cm
- Höhe
- 5 cm
- Durchschnitt der Seiten
- 8,0 cm
- Fläche
- 40,0 cm²
Regnestykket
Durchschnitt der Seiten × Höhe
8,0 cm × 5 cm = 40,0 cm²
Kurz: (a + b) ÷ 2 · h
Zwei gleiche werden zu einem Parallelogramm
Du hast ein gleiches genommen, um eine halbe Drehung gedreht und daneben gesetzt. Die beiden passen ohne Lücke und ohne Überlappung zusammen, und das ist kein Zufall: Die schräge Seite, an der du sie zusammengesetzt hast, ist bei beiden Figuren dieselbe Seite. Die eine zeigt nur in die andere Richtung. Zusammen sind sie jetzt ein Parallelogramm. Die Grundseite dieses Parallelogramms ist die obere Seite plus die untere Seite hintereinander gelegt, und die Höhe ist dieselbe wie vorher.
Ein Parallelogramm ist Grundseite mal Höhe. Hier ist die Grundseite die beiden Seiten zusammengezählt, also nehmen die beiden Trapeze zusammen die beiden Seiten mal die Höhe ein. Ein Trapez ist die Hälfte davon. Also: Die beiden parallelen Seiten zusammenzählen, mit der Höhe multiplizieren und halbieren. Das ist die ganze Formel. Man kann das Halbieren auch direkt sehen: Die kurze Kupferlinie quer über die Mitte ist genau halb so lang, wie das fertige Parallelogramm breit ist.
Der Durchschnitt ist eine echte Länge
Die Summe der beiden Seiten zu halbieren ist dasselbe, wie ihren Durchschnitt zu nehmen. Und dieser Durchschnitt ist nicht nur eine Zahl in einer Rechnung — er ist die Kupferlinie quer durch die Mitte der Figur, die mit «Durchschnitt» markiert ist. Miss sie, und du bekommst genau die Zahl, die bei «Durchschnitt der Seiten» steht. Die Fläche des Trapezes ist diese Linie mal die Höhe. Das Trapez ist also genauso groß wie ein Rechteck, das so hoch und so breit ist wie die Mittellinie.
Dreh die obere Seite auf 0 herunter
Die obere Seite verschwindet, und die Figur wird zu einem Dreieck. Die Formel macht dabei nichts Besonderes: Sie zählt immer noch die beiden Seiten zusammen, aber eine davon ist null. Die Hälfte der unteren Seite mal die Höhe. Das ist die Formel des Dreiecks, und sie ist keine neue Regel, die man zusätzlich lernen muss. Sie ist dieselbe Regel mit einer Null darin.
Mach die beiden Seiten gleich groß
Jetzt ist die Figur ein Parallelogramm — dasselbe schiefe Parallelogramm wie in der anderen Werkstatt. Die Formel zählt die beiden gleich langen Seiten zusammen, halbiert wieder und ist zurück bei der einen Seite. Grundseite mal Höhe. Auch hier passiert nichts Neues; die Rechnung fällt nur zur kurzen zusammen.
Sie ist die breite von ihnen
Das Trapez ist nicht noch eine Figur, die man im Kopf behalten muss. Es ist die allgemeine, und das Dreieck und das Parallelogramm sind zwei Sonderfälle davon, zu denen man mit dem oberen Schieberegler kommt. Kannst du dir die Formel des Trapezes merken, kannst du die beiden anderen daraus ausrechnen, ohne sie auswendig zu können.
Wo man ihr begegnet
Das Trapez taucht jedes Mal auf, wenn etwas nach oben hin schräg zuläuft. Schneide quer durch einen Graben oder einen Kieshaufen mit schrägen Seiten, und die Schnittfläche ist ein Trapez. Dasselbe gilt für den Querschnitt vieler Rinnen und Kanäle. Will man wissen, wie viel darin ist, rechnet man die Fläche des Trapezes — die beiden parallelen Seiten und den Abstand zwischen ihnen.