Mangekanten
Tre kanter eller fireogtyve — det er den samme figur.
- Kanter
- 6
- Sidelængde
- 20,0 cm
- Omkreds
- 120,0 cm
- Apotem
- 17,3 cm
- Areal
- 1039,2 cm²
- Af cirklens areal
- 82,7 %
Regnestykket
Omkreds × Apotem ÷ 2
120,0 cm × 17,3 cm ÷ 2 = 1039,2 cm²
Kort: o · a ÷ 2
Det er én figur, ikke femten
Trekant, firkant, femkant, sekskant. De har hver sit navn, men de er lavet på nøjagtig samme måde: alle kanter lige lange, alle hjørner lige langt fra midten. Derfor er der kun én skyder til dem alle sammen. Træk i den, og du kan se navnene skifte uden at figuren laver noget nyt. Den får bare et hjørne mere. Alt hvad du finder ud af her, gælder derfor for dem alle, og du skal kun huske det én gang.
Alle stykkerne er ens
Skær fra midten ud til hvert hjørne, og du har lige så mange trekanter, som figuren har kanter. De er ens, alle sammen. Hver trekant har figurens kant som grundlinje, og dens højde er afstanden fra midten og vinkelret ud til kanten. Den afstand hedder apotem, og det er den kobberfarvede streg. Læg mærke til at den er kortere end afstanden ud til et hjørne. Ved en trekant er den meget kortere. Ved fireogtyve kanter er de næsten lige lange.
Her passer det præcist
Da trekanterne blev lagt på række, blev hver anden vendt om. Så flugter de rette kanter to og to, og der er hverken huller eller noget der ligger oven på noget andet. Rækken er lige så høj som apotem, og den er lige så lang som den halve omkreds. Gang de to tal, og du har arealet. Det er ikke omtrent: det passer på tallet, ved tre kanter og ved fireogtyve og ved alt derimellem. Det er derfor, du får lov at regne den her ud i hånden.
Flere kanter, tættere på en cirkel
Under figuren står der, hvor stor en del af cirklen omkring den mangekanten fylder. En trekant fylder omkring enogfyrre procent. En sekskant fylder omkring treogfirs. Ved fireogtyve kanter er tallet næsten nioghalvfems. Figuren har stadig lige kanter og skarpe hjørner, men hver kant er blevet så kort, at øjet ikke længere kan se dem. Det er ikke en cirkel. Det ligner bare en.
Broen over til cirklen
Cirklen i det andet værksted bliver skåret op på nøjagtig samme måde: stykker fra midten, hvert andet vendt om, lagt på række. Forskellen er kun, at cirklens stykker har en rund kant i stedet for en lige, og derfor bliver rækken der aldrig helt et rektangel. Her bliver den det med det samme. En cirkel kan man se som en mangekant med uendelig mange kanter, hvor hver kant er uendelig kort. Halv omkreds gange apotem bliver da til halv omkreds gange radius, og det er det samme som pi gange radius gange radius.
Det var det samme bevis to gange
Læg mærke til hvad du ikke behøvede at gøre. Du lærte ikke en formel for trekanten, en anden for femkanten og en tredje for cirklen. Du skar en figur i stykker, lagde stykkerne om til noget du kendte i forvejen, og aflæste svaret. Den fremgangsmåde holder langt ud over de to figurer her. Når du senere møder en form du ikke kender, er det første spørgsmål det samme: kan jeg skære den i stykker, jeg allerede kan måle?