Klassierte Daten
Wenn die Zahlen in Intervallen zusammengefasst sind — z. B. Größen von 160 bis 170 cm —, kennst du die einzelne Zahl nicht. Dann zeichnest du ein Histogramm und eine Summenkurve und liest Median und Quartile an der Kurve ab.
Deine Zahlen
Ein Intervall pro Zeile: ]150;160]: 3 bedeutet «über 150 bis einschließlich 160» und dass dort 3 Zahlen liegen. Du kannst auch 150-160: 3 schreiben.
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Weitere Optionen: Achsenname
Antwort
Mittelwert
173,3
Median
173,3
Anzahl
30
Unteres Quartil · oberes Quartil
165,6 · 179,6
Quartilsabstand
13,96
Modalklasse
]170 ; 180]
Median und Quartile sind an der Summenkurve abgelesen, der Mittelwert ist aus den Klassenmitten berechnet. Beides sind Schätzungen: Die echten Zahlen können innerhalb der Intervalle etwas anders liegen.
Die gestrichelten Hilfslinien gehen waagerecht von 25 %, 50 % und 75 % zur Kurve und senkrecht hinunter zur Achse, wo Quartile und Median abgelesen werden.
So rechnest du es
- 1Klassenmitten: 155; 165; 175; 185; 195Wir kennen die einzelnen Zahlen nicht — nur, in welchem Intervall sie liegen. Deshalb rechnen wir so, als läge jede Zahl in der Mitte ihres Intervalls.
- 2Mittelwert = (155 · 3 + 165 · 8 + 175 · 12 + 185 · 5 + 195 · 2) / 30 = 173,3Jede Klassenmitte zählt so oft, wie es Zahlen im Intervall gibt.
- 3Kumulierte Häufigkeit: 160 → 10 %; 170 → 36,7 %; 180 → 76,7 %; 190 → 93,3 %; 200 → 100 %Die Summenkurve geht durch diese Punkte: An der rechten Intervallgrenze sind so viel Prozent der Zahlen erreicht.
- 4Unteres Quartil: 160 + (25 − 10) / (36,7 − 10) · (170 − 160) = 165,6Finde, wo die Summenkurve 25 %, 50 % und 75 % erreicht. Über jedem Intervall ist die Kurve eine Gerade, also gehen wir den passenden Anteil des Intervalls vor.
- 5Median: 170 + (50 − 36,7) / (76,7 − 36,7) · (180 − 170) = 173,3
- 6Oberes Quartil: 170 + (75 − 36,7) / (76,7 − 36,7) · (180 − 170) = 179,6
Die Formel
Klassenmitte = (linke Grenze + rechte Grenze) / 2
Mittelwert = Σ(Klassenmitte · Häufigkeit) / Anzahl
Eine Schätzung — wir nehmen an, dass die Zahlen jedes Intervalls im Durchschnitt in der Mitte liegen.
Quartil = a + (p − F(a)) / (F(b) − F(a)) · (b − a)
Ablesen an der Summenkurve: a und b sind die Intervallgrenzen, F ist die kumulierte Häufigkeit dort, und p ist 25, 50 oder 75 %.
Im Detail: mehr Zahlen und „was wäre, wenn“
Spannweite: 50 (von 150 bis 200). Standardabweichung aus den Klassenmitten: ca. 10,35.
Tabelle
| Intervall | Mittelpunkt | Häufigkeit | Häufigkeit | Kumulierte Häufigkeit |
|---|---|---|---|---|
| ]150 ; 160] | 155 | 3 | 10 % | 10 % |
| ]160 ; 170] | 165 | 8 | 26,7 % | 36,7 % |
| ]170 ; 180] | 175 | 12 | 40 % | 76,7 % |
| ]180 ; 190] | 185 | 5 | 16,7 % | 93,3 % |
| ]190 ; 200] | 195 | 2 | 6,7 % | 100 % |