Wielokąt
Trzy boki czy dwadzieścia cztery — to ta sama figura.
- Boki
- 6
- Długość boku
- 20,0 cm
- Obwód
- 120,0 cm
- Apotema
- 17,3 cm
- Powierzchnia
- 1039,2 cm²
- Z pola koła
- 82,7 %
Regnestykket
Obwód × Apotema ÷ 2
120,0 cm × 17,3 cm ÷ 2 = 1039,2 cm²
Karta: o · a ÷ 2
To jedna figura, a nie piętnaście
Trójkąt, kwadrat, pięciokąt, sześciokąt. Każdy ma swoją nazwę, ale wszystkie są zbudowane dokładnie tak samo: wszystkie boki równej długości, wszystkie narożniki tak samo daleko od środka. Dlatego dla wszystkich jest tylko jeden suwak. Przesuń go, a zobaczysz, jak zmieniają się nazwy, choć figura nie robi nic nowego. Dostaje tylko jeden narożnik więcej. Wszystko, czego się tu dowiesz, dotyczy więc ich wszystkich i musisz to zapamiętać tylko raz.
Wszystkie kawałki są takie same
Tnij od środka do każdego narożnika, a dostaniesz tyle trójkątów, ile figura ma boków. Wszystkie są takie same. Każdy trójkąt ma bok figury jako podstawę, a jego wysokość to odległość od środka prostopadle do boku. Ta odległość nazywa się apotemą i to jest miedziana kreska. Zauważ, że jest krótsza niż odległość do narożnika. W trójkącie jest dużo krótsza. Przy dwudziestu czterech bokach są prawie tak samo długie.
Tu pasuje dokładnie
Gdy trójkąty ułożono w rząd, co drugi odwrócono. Wtedy proste brzegi przylegają parami i nie ma ani dziur, ani niczego, co leżałoby na czymś innym. Rząd jest tak wysoki jak apotema i tak długi jak połowa obwodu. Pomnóż te dwie liczby, a masz pole. To nie jest w przybliżeniu: zgadza się dokładnie, przy trzech bokach, przy dwudziestu czterech i przy wszystkim pomiędzy. Dlatego tę możesz policzyć ręcznie.
Więcej boków, bliżej koła
Pod figurą widać, jaką część otaczającego ją koła wypełnia wielokąt. Trójkąt wypełnia około czterdziestu jeden procent. Sześciokąt około osiemdziesięciu trzech. Przy dwudziestu czterech bokach liczba to prawie dziewięćdziesiąt dziewięć. Figura nadal ma proste boki i ostre narożniki, ale każdy bok zrobił się tak krótki, że oko już ich nie widzi. To nie jest koło. Tylko tak wygląda.
Most do koła
Koło w drugim warsztacie tnie się dokładnie tak samo: kawałki od środka, co drugi odwrócony, ułożone w rząd. Jedyna różnica jest taka, że kawałki koła mają okrągły brzeg zamiast prostego, więc tam rząd nigdy nie staje się całkiem prostokątem. Tu staje się nim od razu. Koło można widzieć jako wielokąt o nieskończenie wielu bokach, z których każdy jest nieskończenie krótki. Połowa obwodu razy apotema staje się wtedy połową obwodu razy promień, a to jest to samo co pi razy promień razy promień.
To był dwa razy ten sam dowód
Zwróć uwagę, czego nie musiałeś robić. Nie uczyłeś się jednego wzoru na trójkąt, drugiego na pięciokąt i trzeciego na koło. Pociąłeś figurę na kawałki, ułożyłeś je w coś, co już znałeś, i odczytałeś odpowiedź. Ta metoda sięga daleko poza te dwie figury. Gdy później spotkasz kształt, którego nie znasz, pierwsze pytanie jest to samo: czy mogę go pociąć na kawałki, które już umiem zmierzyć?