Trójkąt
Przesuń wierzchołek daleko w bok. Nadal jest w nim tyle samo miejsca.
- Podstawa
- 10 cm
- Wysokość
- 7 cm
- Powierzchnia
- 35,0 cm²
- Lewy bok
- 8,6 cm
- Prawy bok
- 8,6 cm
- Dookoła
- 27,2 cm
Regnestykket
Podstawa × Wysokość ÷ 2
10 cm × 7 cm ÷ 2 = 35,0 cm²
Karta: b · h ÷ 2
Dwa takie same trójkąty stały się jednym pudełkiem
To, co wyłoniło się z tyłu, nie jest nowym trójkątem. To ten sam, skopiowany i obrócony o pół obrotu. Zauważ, że ląduje tuż przy pierwszym: nie ma między nimi szczeliny i żaden narożnik nie wystaje nad drugi. Razem oba trójkąty pokrywają krzywe pudełko i dzielą je dokładnie na pół. Dlatego jeden trójkąt to dokładnie połowa tego pudełka. Dolny bok nazywa się podstawą trójkąta, a pionowa odległość do wierzchołka nazywa się wysokością. Pudełko ma tę samą podstawę i tę samą wysokość co trójkąt, od którego zacząłeś.
Krzywe pudełko jest tak samo duże jak zwykłe
Krzywe pudełko wygląda na trudne do zmierzenia, ale takie nie jest. Wyobraź sobie, że odcinasz ukośny koniec z lewej strony i przenosisz kawałek na prawą. Pasuje dokładnie, bo oba ukośne brzegi są tak samo pochylone. Teraz stoi zwykły prostokąt o tej samej podstawie i tej samej wysokości, a jego pole to podstawa razy wysokość. Więc krzywe pudełko też ma pole podstawa razy wysokość. A trójkąt to połowa tego: podstawa razy wysokość, podzielone przez dwa.
Wierzchołek może iść, gdzie chce
Przesuń ostatni suwak i patrz na pole. Wierzchołek przesuwa się daleko w lewo i daleko w prawo, trójkąt robi się spiczasty i krzywy, i wychyla się poza własną podstawę — a liczba pola ani razu się nie rusza. Dopóki podstawa jest ta sama, a wierzchołek zostaje na tej samej wysokości, w trójkącie jest tyle samo miejsca. Pomyśl o stosie kartek leżącym na stole. Jeśli przesuniesz górę stosu w bok, tak że się przechyli, nadal jest w nim dokładnie tyle samo kartek. Nie przybyło papieru i nic nie zniknęło. Trójkąt zachowuje się tak samo.
Boki się zmieniają, pole nie
Patrz na dwa ukośne boki i na liczbę dla całego obwodu, gdy przesuwasz wierzchołek. Te liczby cały czas rosną i maleją. Warto się przy tym zatrzymać, bo łatwo uwierzyć, że figura robi się większa, gdy brzegi się wydłużają. Tak nie jest. Długość dookoła i miejsce w środku to dwie różne rzeczy i jedna nie mówi nic pewnego o drugiej.
Wysokość musi stać prostopadle
Przerywana kreska od wierzchołka w dół to wysokość i zawsze stoi prostopadle do podstawy. To nie to samo co jeden z ukośnych boków, choć mogą wyglądać podobnie, gdy trójkąt jest wąski. Jeśli przesuniesz wierzchołek całkiem poza podstawę, stanie się coś, co wygląda na błąd, ale jest poprawne: kreska ląduje obok trójkąta, na cienkiej linii przedłużającej podstawę. Wysokość mierzy się do prostej, na której leży podstawa, a nie tylko do jej widocznego kawałka. Rachunek jest ten sam.
Gdzie spotkasz ją znowu
Szczyt domu to trójkąt. Tak samo połać dachu widziana od boku, trójkątna resztka płyty i szczelina między dwiema ukośnymi rurami. Za każdym razem, gdy ktoś musi wiedzieć, ile trzeba zużyć albo ile zostało, to ten sam rachunek: zmierz podstawę, zmierz prostopadłą do niej wysokość, pomnóż je i podziel przez dwa. I nie musisz myśleć o tym, jak spiczasty jest trójkąt.