Ähnliche Figuren
Zwei Figuren sind ähnlich, wenn die eine eine Vergrößerung der anderen ist. Kennst du zwei Seiten, die einander entsprechen, kennst du den Skalierungsfaktor — und dann kannst du alle anderen Seiten finden.
Deine Zahlen
Figur 1 — die, die du kennst
Figur 2 — die vergrößerte oder verkleinerte
Die Seite in Figur 2, die an derselben Stelle liegt wie a in Figur 1.
Weitere Optionen: Volumen von Figur 1, Einheit
Für ähnliche Körper: ein Kasten, ein Eimer, ein Modell.
Antwort
Skalierungsfaktor k
2
Figur 2 ist eine Vergrößerung von Figur 1.
Seite b′
8cm
Seite c′
10cm
Fläche (k² = 4)
6 → 24cm²
Volumen (k³ = 8)
10 → 80cm³
Figur 1 gestrichelt, Figur 2 durchgezogen — im selben Maßstab gezeichnet.
So rechnest du es
- 1k = a′ / a = 6 / 3 = 2Der Skalierungsfaktor gibt an, wie viel Mal größer Figur 2 ist. Teile immer Figur 2 durch Figur 1 — und nimm zwei Seiten, die einander entsprechen.
- 2b′ = k · b = 2 · 4 = 8 cm · c′ = k · c = 2 · 5 = 10 cmAlle Längen in Figur 2 sind k-mal so lang wie in Figur 1. Die Winkel sind gleich.
- 3A₂ = k² · A₁ = 2² · 6 = 24 cm²Eine Fläche hat zwei Richtungen — Länge und Breite — und beide wachsen mit k. Darum k². Typischer Fehler: die Fläche mit k zu multiplizieren.
- 4V₂ = k³ · V₁ = 2³ · 10 = 80 cm³Ein Volumen hat drei Richtungen, also wächst es mit k³: doppelt so große Maße ergeben achtmal so viel.
Die Formel
k = a′ / a
Der Skalierungsfaktor: Figur 2 geteilt durch Figur 1.
b′ = k · b
Alle Längen werden mit k multipliziert.
A₂ = k² · A₁
Flächen werden mit k zum Quadrat multipliziert.
V₂ = k³ · V₁
Volumen werden mit k hoch drei multipliziert.
Im Detail: mehr Zahlen und „was wäre, wenn“
Länge, Fläche und Volumen bei anderen Skalierungsfaktoren
| k | Seite b′ | Fläche | Volumen |
|---|---|---|---|
| 0,5 | 2 cm | 1,5 cm² | 1,25 cm³ |
| 1 | 4 cm | 6 cm² | 10 cm³ |
| 2 | 8 cm | 24 cm² | 80 cm³ |
| 3 | 12 cm | 54 cm² | 270 cm³ |
Mit k = 2 werden Längen mit 2, Flächen mit 4 und Volumen mit 8 multipliziert.
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