Vilkårlig trekant
En trekant behøver ikke have en ret vinkel. Kender du tre af dens mål — og mindst én af dem er en side — kan sinus- og cosinusrelationen finde resten.
Forklaringen står fremme. Hurtig: SSS, SVS og VSV. Avanceret: også det tvetydige tilfælde SSV — og højder, omkreds og trekantens cirkler.
Dine tal
Side a står over for vinkel A, b over for B og c over for C.
Flere valg: enhed
Svar
Vinkel A
38,21°
Vinkel B
60°
Vinkel C
81,79°
Areal
17,32cm²
Omkreds
20cm
Tegnet i målestok.
Sådan regner du det
- 1cos A = (b² + c² − a²) / (2 · b · c)Cosinusrelationen: kender du alle tre sider, giver den hver vinkel. Den virker også for stumpe vinkler.
- 2cos A = (49 + 64 − 25) / 112 = 0,7857 ⇒ A = cos⁻¹(0,7857) = 38,21°
- 3cos B = (25 + 64 − 49) / 80 = 0,5 ⇒ B = 60°
- 4C = 180° − 38,21° − 60° = 81,79°Vinklerne i en trekant giver altid 180° tilsammen.
- 5T = ½ · a · b · sin C = ½ · 5 · 7 · sin 81,79° = 17,32 cm²Arealet uden at kende højden: to sider og sinus til vinklen mellem dem.
Formlen
a / sin A = b / sin B = c / sin C
Sinusrelationen — når du kender en side og vinklen over for den.
a² = b² + c² − 2 · b · c · cos A
Cosinusrelationen — når du kender tre sider, eller to sider og vinklen mellem dem.
T = ½ · a · b · sin C
Arealet ud fra to sider og vinklen mellem dem.
I dybden: flere tal og «hvad nu hvis»
Flere størrelser
| Størrelse | Værdi |
|---|---|
| Omkreds | 20 cm |
| Højden på a | 6,93 cm |
| Højden på b | 4,95 cm |
| Højden på c | 4,33 cm |
| Omskrevne cirkels radius (a / (2 · sin A)) | 4,04 cm |
| Indskrevne cirkels radius (2T / omkreds) | 1,73 cm |
Mere: Geometri
- PythagorasFind den manglende side, sæt en ret vinkel af, tjek om et rum er i vinkel, og find rumdiagonalen.
- Areal og omkredsRektangel, trekant, trapez, cirkel og sammensatte figurer — areal og omkreds.
- Rumfang og overfladeKasse, cylinder, kegle, kugle, pyramide, prisme, rør og keglestub — også i liter.
- CirklenRadius, omkreds og areal ud fra ét mål — plus udsnit, cirkelring, korde og pilhøjde.
- Retvinklet trekantSinus, cosinus og tangens: alle sider og vinkler ud fra to kendte.
- VinklerDen tredje vinkel i en trekant og vinkelsummen i en mangekant.
- Punkter i koordinatsystemetAfstand, midtpunkt og linjen mellem to punkter — tegnet ind.
- Ligedannede figurerSkalafaktor og manglende sider — arealet ganges med k², rumfanget med k³.
- FlytningerSpejl, drej og parallelforskyd en figur på et koordinatgitter — før og efter.