Dowolny trójkąt

Trójkąt nie musi mieć kąta prostego. Jeśli znasz trzy jego wymiary — a co najmniej jeden z nich to bok — twierdzenia sinusów i cosinusów znajdą resztę.

Wyjaśnienie jest widoczne. Szybki: BBB, BKB i KBK. Zaawansowany: także przypadek niejednoznaczny BBK — oraz wysokości, obwód i okręgi trójkąta.

Twoje liczby

Co znasz?

Bok a

Bok b

Bok c

Bok a leży naprzeciw kąta A, b naprzeciw B, a c naprzeciw C.

Więcej opcji: jednostka

Jednostka

Odpowiedź

Kąt A

38,21°

Kąt B

60°

Kąt C

81,79°

Powierzchnia

17,32cm²

Obwód

20cm

Narysowane w skali.

Jak to obliczyć

1cos A = (b² + c² − a²) / (2 · b · c)Twierdzenie cosinusów: gdy znasz wszystkie trzy boki, daje każdy kąt. Działa też dla kątów rozwartych.
2cos A = (49 + 64 − 25) / 112 = 0,7857 ⇒ A = cos⁻¹(0,7857) = 38,21°
3cos B = (25 + 64 − 49) / 80 = 0,5 ⇒ B = 60°
4C = 180° − 38,21° − 60° = 81,79°Kąty w trójkącie zawsze dają razem 180°.
5T = ½ · a · b · sin C = ½ · 5 · 7 · sin 81,79° = 17,32 cm²Pole bez znajomości wysokości: dwa boki i sinus kąta między nimi.

Wzór

a / sin A = b / sin B = c / sin C

Twierdzenie sinusów — gdy znasz bok i kąt naprzeciw niego.

a² = b² + c² − 2 · b · c · cos A

Twierdzenie cosinusów — gdy znasz trzy boki albo dwa boki i kąt między nimi.

T = ½ · a · b · sin C

Pole z dwóch boków i kąta między nimi.

Szczegółowo: więcej liczb i „co jeśli”

Więcej wielkości

Wielkość	Wartość
Obwód	20 cm
Wysokość na a	6,93 cm
Wysokość na b	4,95 cm
Wysokość na c	4,33 cm
Promień okręgu opisanego (a / (2 · sin A))	4,04 cm
Promień okręgu wpisanego (2T / obwód)	1,73 cm

Więcej: Geometria

Wszystkie uniwersalne narzędzia